Ecuaciones Trigonométricas Cuadráticas
Teoría Fundamental
Son ecuaciones que contienen términos cuadráticos de funciones trigonométricas. Su forma general es:
\[ a[f(\theta)]^2 + b[f(\theta)] + c = 0 \]Donde \( f(\theta) \) puede ser \( \sin\theta \), \( \cos\theta \), o \( \tan\theta \).
Métodos de Resolución
- Sustitución: \( u = f(\theta) \)
- Factorización: Buscar factores comunes
- Fórmula Cuadrática: \( u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
- Identidades: Usar identidades trigonométricas para simplificar
Consideraciones Clave
- Verificar que las soluciones estén en [-1, 1] para seno y coseno
- Considerar múltiples soluciones por periodicidad
- Revisar soluciones extranjeras al usar identidades
- Analizar el discriminante para determinar existencia de soluciones
Ejemplo 1: Ecuación Simple
Ecuación: \( 2\sin^2\theta - 1 = 0 \)
Paso 1: Despejar \( \sin^2\theta \): \[ \sin^2\theta = \frac{1}{2} \]
Paso 2: Raíz cuadrada: \[ \sin\theta = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Paso 3: Soluciones principales: \[ \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \]
Ejemplo 2: Factorización
Ecuación: \( 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \)
Paso 1: Factorizar: \[ (2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0 \]
Paso 2: Resolver cada factor: \[ \cos\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \] \[ \cos\theta = 1 \Rightarrow \theta = 2\pi k \]
Ejemplo 3: Usando Fórmula Cuadrática
Ecuación: \( 3\tan^2\theta + 2\tan\theta - 1 = 0 \)
Paso 1: Aplicar fórmula cuadrática: \[ \tan\theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6} \]
Paso 2: Dos soluciones: \[ \tan\theta = \frac{1}{3} \Rightarrow \theta = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k \] \[ \tan\theta = -1 \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{4} + \pi k \]
Ejemplo 4: Usando Identidades
Ecuación: \( \sin^2\theta + \sin\theta = \cos^2\theta \)
Paso 1: Usar \( \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta \): \[ \sin^2\theta + \sin\theta = 1 - \sin^2\theta \]
Paso 2: Reorganizar: \[ 2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \]
Paso 3: Factorizar: \[ (2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) = 0 \]
Soluciones: \[ \sin\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \] \[ \sin\theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \]
Ejemplo 5: Ecuación Sin Solución
Ecuación: \( 2\sin^2\theta + 3\sin\theta + 2 = 0 \)
Paso 1: Calcular discriminante: \[ D = 9 - 16 = -7 \]
Conclusión: Discriminante negativo → No hay soluciones reales
Ejercicios de Práctica
- \( \cos^2\theta - 3\cos\theta = 0 \)
Solución ▼\( \cos\theta(\cos\theta - 3) = 0 \)
\( \cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + \pi k \)
\( \cos\theta = 3 \) → No solución - \( 4\sin^2\theta - 1 = 0 \)
Solución ▼\( \sin\theta = \pm\frac{1}{2} \)
\( \theta = \frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k \) - \( 2\tan^2\theta - \tan\theta - 3 = 0 \)
Solución ▼\( \tan\theta = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3}{2}, -1 \)
\( \theta = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi k \) - \( \sin^2\theta = 2\cos\theta + 2 \)
Solución ▼Usar \( \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \):
\( \cos^2\theta + 2\cos\theta + 1 = 0 \)
\( (\cos\theta + 1)^2 = 0 \Rightarrow \theta = \pi + 2\pi k \) - \( 3\cos^2\theta + 5\cos\theta - 2 = 0 \)
Solución ▼\( \cos\theta = \frac{-5 \pm 7}{6} \)
\( \cos\theta = \frac{1}{3} \Rightarrow \theta = \pm\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k \)
\( \cos\theta = -2 \) → No solución - \( \tan^2\theta + 1 = 0 \)
Solución ▼\( \tan^2\theta = -1 \) → No solución real
Errores Comunes
- Olvidar ± al tomar raíces cuadradas
- No verificar restricciones en el dominio
- Ignorar soluciones periódicas
- Confundir grados con radianes
- Malinterpretar soluciones complejas como reales