Identidades Trigonométricas: El Lenguaje del Universo Angular
¿Qué son las identidades trigonométricas?
Son ecuaciones que relacionan funciones trigonométricas y son verdaderas para todos los valores de las variables donde ambas partes están definidas. Constituyen la base para resolver ecuaciones complejas y simplificar expresiones.
1 Identidades Recíprocas
Relacionan funciones trigonométricas con sus recíprocas:
Demostración: Por definición de cosecante
Demostración: De la relación en el círculo unitario
Demostración: Por definición de cotangente
2. Identidades Pitagóricas
Derivadas del Teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario:
Partiendo de la ecuación del círculo unitario:
\[ x^2 + y^2 = 1 \]Sustituyendo \(x = \cos \theta\) y \(y = \sin \theta\):
\[ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \]Dividiendo toda la ecuación por \(\cos^2 \theta\):
\[ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \]Dividiendo por \(\sin^2 \theta\):
\[ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \]| Identidad | Forma Básica | Formas Alternativas |
|---|---|---|
| Principal | \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) | \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\) \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\) |
| Tangente-Secante | \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\) | \(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1\) |
| Cotangente-Cosecante | \(1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\) | \(\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1\) |
3. Identidades de Co-función
Relacionan funciones de ángulos complementarios:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta \] \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta \quad \sec\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \csc \theta \]Interpretación Geométrica
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios (\( \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \)). Las co-funciones reflejan esta relación de complementariedad.
4. Identidades de Suma y Diferencia
Permiten expresar funciones de sumas angulares como combinaciones de funciones individuales:
Para Seno
\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]Para Coseno
\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \]Para Tangente
\[ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \]Usando la relación \( e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} \):
\[ \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) = (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) \]Multiplicando los términos:
\[ = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + i(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \]Igualando partes reales e imaginarias se obtienen las identidades.
5. Identidades de Ángulo Doble y Mitad
Ángulo Doble
\[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \] \[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta \] \[ \tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \]Ángulo Mitad
\[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \] \[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \] \[ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \]Aplicación en Física
Las identidades de ángulo doble son fundamentales en el estudio de:
- Interferencia de ondas
- Movimiento armónico simple
- Análisis de tensiones en materiales
6. Identidades de Producto a Suma
Convierten productos de funciones en sumas:
Sumando las identidades de suma y diferencia para seno:
\[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin \alpha \cos \beta \]Despejando:
\[ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] \]Similarmente para las demás identidades.