Ecuaciones Lineales con Múltiples Funciones Trigonométricas
Características Principales
- Contienen funciones trigonométricas de primer grado
- No incluyen términos al cuadrado ni productos de funciones
- Se resuelven mediante combinación lineal o identidades
1. Combinación Lineal: \( a\sin\theta + b\cos\theta = c \)
Ecuación: \( \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 1 \)
Paso 1: Expresar como una sola función usando: \[ R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \]
Paso 2: Dividir la ecuación por R: \[ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta = \frac{1}{2} \]
Paso 3: Identificar ángulo: \[ \cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{6} \] \[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]
Solución: \[ \theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{o} \quad \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]
2. Factorización Simple
Ecuación: \( \sin\theta + \tan\theta = 0 \)
Paso 1: Factorizar \(\sin\theta\): \[ \sin\theta\left(1 + \frac{1}{\cos\theta}\right) = 0 \]
Paso 2: Dos casos:
1. \(\sin\theta = 0
\Rightarrow \theta = \pi k\)
2. \(1 + \sec\theta = 0
\Rightarrow \cos\theta = -1 \Rightarrow \theta = \pi + 2\pi k\)
Solución general: \(\theta = \pi k\)
3. Relación entre Cofunciones
Ecuación: \( \sin\theta = \cos\theta \)
Paso 1: Dividir ambos lados por \(\cos\theta\): \[ \tan\theta = 1 \]
Paso 2: Soluciones principales: \[ \theta = \frac{\pi}{4} + \pi k \]
Nota: Excluir \(\theta = \frac{\pi}{2} + \pi k\) donde \(\cos\theta = 0\)
4. Ángulos Relacionados
Ecuación: \( \sin\theta = \sin2\theta \)
Paso 1: Usar identidad \(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\): \[ \sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta \]
Paso 2: Factorizar: \[ \sin\theta(1 - 2\cos\theta) = 0 \]
Paso 3: Resolver:
1. \(\sin\theta = 0
\Rightarrow \theta = \pi k\)
2. \(\cos\theta = \frac{1}{2}
\Rightarrow \theta = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)
5. Ecuación sin Solución
Ecuación: \( \sin\theta + \cos\theta = 2 \)
Paso 1: Valor máximo de \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \approx 1.414\)
Conclusión: \(2 > \sqrt{2}\) → No existe solución real
Ejercicios de Práctica
Resuelve las siguientes ecuaciones
-
\( 2\sin\theta + \cos\theta = 0 \)Ver solución ▼
Paso 1: Dividir entre \(\cos\theta\) (si \(\cos\theta \neq 0\)):
\[ 2\tan\theta + 1 = 0 \]Paso 2: Despejar tangente:
\[ \tan\theta = -\frac{1}{2} \]Solución general:
\[ \theta = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k \approx -0.464 + \pi k \] -
\( \sin\theta = \cos\theta \)Ver solución ▼
Paso 1: Dividir ambos lados por \(\cos\theta\):
\[ \tan\theta = 1 \]Paso 2: Encontrar soluciones principales:
\[ \theta = \frac{\pi}{4} + \pi k \]Excluir: \(\theta = \frac{\pi}{2} + \pi k\) donde \(\cos\theta = 0\)
-
\( \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 1 \)Ver solución ▼
Paso 1: Usar método de combinación lineal:
\[ R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2 \]Paso 2: Reescribir ecuación:
\[ \sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]Soluciones:
\[ \theta = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{o} \quad \theta = \pi + 2\pi k \] -
\( \sin\theta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 \)Ver solución ▼
Paso 1: Usar identidad de cofunción:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \]Paso 2: Simplificar ecuación:
\[ \sin\theta + \cos\theta = 1 \]Soluciones principales:
\[ \theta = 2\pi k \quad \text{o} \quad \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \] -
\( 3\cos\theta - 2\sin\theta = 0 \)Ver solución ▼
Paso 1: Reorganizar términos:
\[ 3\cos\theta = 2\sin\theta \]Paso 2: Expresar como tangente:
\[ \tan\theta = \frac{3}{2} \]Solución general:
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k \approx 0.9828 + \pi k \] -
\( \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \)Ver solución ▼
Paso 1: Usar identidad de ángulo suma:
\[ \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \]Paso 2: Igualar a \(\sqrt{2}\):
\[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \]Solución general:
\[ \theta = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]
Errores Frecuentes
- Dividir por funciones trigonométricas sin considerar ceros
- Olvidar que las cofunciones tienen periodos diferentes
- No verificar el rango de posibles soluciones
- Confundir ángulos de referencia con soluciones finales